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Höhere Ableitungen

Wie Satz 7.3 zeigte, ist die Funktion $ f: <a,b> = J \to \mathbb{R}$ im Punkt $ x$ genau dann differenzierbar, wenn sie im folgenden Sinn durch eine Gerade approximierbar ist:

$\displaystyle f(x+h) = f(x) + a h + h R(h)$   mit $\displaystyle \lim_{h \to 0}
R(h) = 0.$

Mit höheren Ableitungen gelingt es, Funktionen durch Polynome höheren Grades zu approximieren, das heißt, die Gerade durch ein Polynom zu ersetzen. Dies liefert der Satz von Taylor (Theorem 7.44). In der Praxis ist dies unter anderem deshalb von Bedeutung, weil Polynome sehr leicht implementiert und mit dem Horner-Schema (Seite [*]) relativ effizient berechnet werden können. Da wir ohnehin meistens näherungsweise rechnen (mit den beschränkten float und double Werten), machen wir keine wesentlichen Fehler.





Definition 7.8   Sei $ J \subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall und $ f: J \to \mathbb{R}$ eine Funktion.
a) Sei $ f$ in jedem Punkt $ x \in J$ differenzierbar; dann heißt die neue Funktion $ f': J \to
\mathbb{R}, \, x \mapsto f'(x)$ erste Ableitung von $ f$ .
b) Sei für $ n \geq 1$ die $ n$ -te Ableitung $ f^{(n)}$ als Funktion schon definiert. Ist die Funktion $ f^{(n)}$ in jedem Punkt $ x \in J$ differenzierbar, so heißt die Funktion

$\displaystyle (f^{(n)})': x \mapsto
(f^{(n)})'(x)$

$ (n+1)$ -te Ableitung $ f^{(n+1)}$ von $ f$ .
c) Existiert die $ n$ -te Ableitung für jedes $ n$ , so heißt $ f$ unendlich oft oder beliebig oft differenzierbar.



Statt $ f^{(2)}$ schreibt man oft $ f''$ oder auch $ \ddot{f}$ . Für $ f^{(3)}$ ist auch $ f'''$ üblich. Statt $ f^{(n)}$ schreibt man auch $ \frac{\displaystyle \displaystyle d^n f}{\displaystyle \displaystyle dx^n}$ .

Aufgabe: Beweisen Sie bitte: Seien $ f$ und $ g$ $ n $ mal differenzierbar. Dann gilt die verallgemeinerte Leibnizsche Regel: $ (fg)^{(n)} =
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}.$ Tipp: Benutzen Sie Induktion.

Wir bringen zunächst einfache Beispiele von Funktionen, die mehrfach ableitbar sind. Die wichtigsten Beispiele sind Potenzreihen (siehe Satz 7.33).



$\textstyle \parbox{\appletwidth}{Benutzen Sie nun bitte das Applet \lq\lq Funktionen...
...nden Aufgaben an, und diskutieren Sie deren Verlauf anhand Ihres
Schulwissens.}$

Applet: Funktionen einer Veränderlichen (mit Tangente)

Aufgaben:

  1. Jedes Polynom ist beliebig oft differenzierbar. Berechnen Sie alle Ableitungen von $ \sum_{k=0}^n a_k x^k$ . Beispiele: sind $ x^2-1$ , $ x^3-x^2+x-1$ , $ x^4 -10x +2$ .
  2. Die Wurzelfunktion ist auf $ ]0,\infty[$ beliebig oft differenzierbar. Beweisen Sie bitte diese Aussage.
  3. Sei $ f(x) = x/(x^2+1)$ . Zeigen Sie, dass diese Funktion beliebig oft differenzierbar ist.

Wiederholung
Begriffe: Ableitung, Differenzierbarkeit, höhere Ableitung.
Sätze: Äquivalente Formulierungen der Differenzierbarkeit, Rechenregeln für das Differenzieren, Ableitung der Umkehrfunktion.

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friedric 2004-08-18